关于杨—米尔斯理论
第二十九章：关于杨—米尔斯理论，有100万的奖金等着你！
学习高等物理的人，都知道杨-米尔斯理论。但还有很多人还是不知道这个理论讲了什么，有多重要，今天我们一起来看看这个理论。
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杨-米尔斯理论是一种基于SU(N)群的规范理论。在1953年，沃尔夫冈·泡利最初写下了这类的规范理论，概括了五维的卡鲁扎-克莱因理论。 但他发现到无法让当中的规范玻色子带有质量，所以选择不发表他的成果。
虽然这项成果没有正式写成论文发表，但他在之后的演讲中谈论过这个理论。
1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯写下了现今使用的杨-米尔斯理论，将原本可交换群的规范理论（应用的量子电动力学）拓展到不可交换群，以解释强相互作用，因此又称作非阿贝尔规范场论。( 文章阅读网：www.sanwen.net )
最初这个构想并不成功。其原因在于杨-米尔斯理论的量子必须质量为零以维持规范不变性。如果其作用粒子质量为零，则其作用是长程作用力。然而实验上没有观察到长程力的作用。因此，这个理论在当时并未受到重视。
一直到1960年代南部阳一郎、杰弗里·戈德斯通、等人开始运用对称性破缺的机制，从零质量粒子的理论中去得到带质量的粒子，杨-米尔斯理论的重要性才显现出来。
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杨-米尔斯（Yang-Mills）理论，是现代规范场理论的基础，20世纪下半叶重要的物理突破，旨在使用非阿贝尔李群描述基本粒子的行为，是由物理学家杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来的。这个理论对今天的标准模型形成起了重要作用。这一理论中出现的杨－米尔斯方程是一组数学上未曾考虑到的极有意义的非线性偏微分方程。
首先我们还是对这两位科学家做一个简单的介绍吧。杨振宁，1922年10月1日出生于安徽合肥，世界著名物理学家，现任香港中文大学讲座教授、清华大学教授、美国纽约州立大学石溪分校荣休教授，他还是中国科学院院士、美国国家科学院院士、台湾“中央研究院”院士、俄罗斯科学院院士、英国皇家学会会员，1957年获诺贝尔物理学奖；是中美关系松动后回中国探访的第一位华裔科学家，积极推动中美文化交流和中美人民的互相了解；在促进中美两国建交、中美人才交流和科技合作等方面，做出了重大贡献。
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而另一位科学家全名是罗伯特·劳伦斯·米尔斯（英文：Robert Laurence Mills，1927年4月15日－1999年10月27日），美国物理学家，生于新泽西州恩格尔伍德。1956年成为俄亥俄州立大学的物理学教授。主要贡献是与杨振宁合作的杨-米尔斯理论。
1954年，杨—Mills规范场论（即非阿贝尔规范场论）发表。这个当时没有被物理学界看重的理论，通过后来许多学者于20世纪60年代到20世纪70年代引入的自发对称破缺观念，发展成标准模型。这被普遍认为是20世纪后半叶基础物理学的总成就。
杨振宁和Mills的论文，从数学观点讲，是从描述电磁学的阿贝尔规范场论到非阿贝尔规范场论的推广。而从物理观点上讲，是用此种推广发展出新的相互作用的基础规则。
在主宰世界的4种基本相互作用中，弱电相互作用和强相互作用都由杨—Mills理论描述，而描述引力的爱因斯坦的广义相对论也与杨—Mills理论有类似之处。杨振宁称此为“对称支配力量”。杨—Mills理论是20世纪后半叶伟大的物理成就，杨—Mills方程与Maxwell方程、Einstein方程共同具有极其重要的历史地位。
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很抱歉，没有找到一张关于罗伯特·劳伦斯·米尔斯照片，他由于后来没有其他的理论发现，所以没有杨振宁知名。但是我们依然不应该忘记他。
通过上面的介绍，大家知道了，杨—米尔斯理论也是一个非线性波动方程。这个很重要。他和爱氏的场方程，以及麦克斯韦方程组具有同样重要的地位，都是划时代的发现。
那么这个理论最初是为了解决上面问题呢？它起源于对电磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论，已经为实验所证实，特别是这理论所预言的传播弱相互作用的中间玻色子，已经在实验中发现。
杨－米尔斯理论又为研究强子（参与强相互作用的基本粒子）的结构提供了有力的工具。
杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。
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尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是没有被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
不知道大家发现没有，看过我物理科普书籍《变化》的朋友一定会想到爱氏的场方程的。爱氏场方程也是很难有确切解，也是非线性波动方程。这和杨—米尔斯理论有很大的相似之处。
一贯的想法让我不认为这是偶然，所有描述最根本的宇宙方程，都显示了其深刻的波动性，开放性。这对于前面我们提到的诸多定律，比如波粒二象性，不确定原理等，都有深刻影响。
一起来看看这个方程吧，虽然我们看不懂它。但看和不看是两个概念。一直不看，永远看不懂。
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再发一个爱氏的场方程大家看看。关于爱氏场方程的基本认识，大家可以去看看我的《变化》，会有启发的。
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有一点值得一提，那就是杨振宁的杨—米尔斯理论，和爱氏的相对论，都影响很大，但两个人都没有因此获得诺贝尔奖。两个人都是因为其他理论获得诺贝尔奖的。 杨是因为和李政道提出“弱相互作用中宇称不守恒理论”而获奖。爱氏是因为光电效应理论获奖。
大家也看到了，由于这个理论的方程是非线性波动方程，所以方程没有能力为大家讲，这也是世界性难题。期待中国的学生，多去研究。
不过为了让大家理解这个理论，还要要补充的。上面说了，杨振宁和Mills的论文，从数学观点讲，是从描述电磁学的阿贝尔规范场论到非阿贝尔规范场论的推广。
非阿贝尔规范场是为了描述原子核里的核子们(当时认为就是质子和中子)为什么会被紧紧拉在一起，而不会被正电之间强烈的排斥力而炸开(质子们带正电，是互相排斥的)，而设想的一种作用力场。
电磁力是由电磁场传播的。电荷及其运动所形成的电流产生了电磁场，场传出去后可以作用在远处电荷和电流上。于是，杨振宁和Mills也设想了一种类似电磁场的别的场来传递核力，那就是非阿贝尔规范场。
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这个设想看似容易，其实很难。最重要的是，杨振宁和Mills此时极大地推广了场和荷的含义。他们设想了一种更为复杂的荷(当然不能再叫电荷了)和它们所产生的场：这些荷和场都不是普通的实数能表示的，它们是一些矩阵。矩阵的乘法是不能交换的，这种乘法的不交换性叫“非阿贝尔”的。因此也叫非阿贝尔规范场。对那些学过物理的人应该说明的是：学过量子力学的人知道，量子理论里力学变量可以表示成矩阵。但这里说的场和荷表示成矩阵不是由于量子化的结果，而是在经典物理的意义上它们就是矩阵。
杨-Mills的那篇文章是1954年发表的。那时这个理论中还有几个关键的问题不能解决（比如质量问题，量子化和重整化之类，这是些更为专业的名词，只有研究这个方向的理论物理博士们才学的）。而且在随后的六十年代，物理学界对于用场的观点描述核力是较为悲观的，那时别的观点在物理学家中占主流。
不过后来，经过几位物理学家近二十年左右的持续探索，解决了所有原来不能解决的问题。而且，后来找到了别的不同的荷（当时还不知道呢）分别能产生强力和弱力（核力就分这两种力）。但它们用的数学形式都是类似的，都是杨-Mills理论。不同的是其中矩阵的大小不一样：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩阵是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麦克斯韦的电磁理论。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，电磁力，弱力，强力中，除引力外的其它三种力都能用杨-Mills场描述。 这就是可以看出这个理论对物理学的影响有多大了。
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杨振宁和Mills所设想的那种古怪的荷叫做"同位旋"。他们把描述电磁场的麦克斯韦理论做了一个优美而且深刻的推广，得到一个新方程，后来就叫杨-Mills方程。当然比麦克斯韦方程普遍得多也复杂得多了。至于推广的方法，是依据了一个来自电磁理论的原理，叫做“定域规范不变原理”。这个我会在下一章给大家做介绍。
有的物理学家指出，物理学基本定律可以写在一件文化衫上（意思是很简洁）。从牛顿时代开始，物理的主要目标就是描述物质结构、相互作用和运动规律。随着物理学的发展，这个简单的目标又进一步被简化了。因为后来知道物质其实也是场，不过是所谓的“量子场”的一种。因此物理学最基本的定律就是描述各种场的运动和它们之间的作用。现在如果要做那样一件物理学文化衫的话，可以肯定地说，杨-Mills方程是一定应该写上的。
有些人提出比如这类质疑：有的说杨-Mills理论后面的很多进展不是他们做的，是别的物理学家做的，怎么还说他们的贡献那么大。还有的说杨-Mills方程最初的出发点是“错的”，怎么还说那么重要。前一类疑问很容易解释。确实，杨-Mills理论在物理上取得这么大的成功，包括了前后好多位物理学家的贡献。如Higgs,Veltman,t'Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好几位得到了诺贝尔奖，但Higgs还没得。还有数学家，如量子化杨-Mills场的俄国数学家Faddeev和Popov，他们也没得诺贝尔奖，同样杨振宁也不是因为提出杨-Mills场得的诺贝尔奖。
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如此多人的贡献，如果整个是由一个人作出来的，那他的成就和爱因斯坦一样大了，甚至可以说是超过爱因斯坦！只有爱因斯坦曾经以一人之力建立了相对论。其它的物理理论，如量子力学，特别是后来的量子场论，都是由很多人，有时是经过几代人很多年的持续努力才建立起来的。
此外，关于杨—米尔斯理论这个方程的数学性质的研究至今还是国际上悬赏最高的几个数学问题之一。比如你可以搜索“千禧数学问题”，它们是美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）于2000年公布的七个数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，每解破一题奖金100万美元。这几个问题是：
P/NP问题，
霍奇猜想，
庞加莱猜想，
黎曼假设，
杨-米尔斯存在性与质量间隙，
纳维-斯托克斯存在性与光滑性，
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。
解决其中任何一个问题，你就是拥有最强大脑的人物。知识改变命运，从来不是一句谎言。你相信它，它才能改变你。
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摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者量子力学书籍《见微知著》