怎样证明弦切角

《怎样证明弦切角》证明书

怎样证明弦切角设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB( 文章阅读网：www.sanwen.net )

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

2

接OB OC 过O做OE⊥BC

所以∠A=1/2

又因为∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3

温馨提示

设切点为A 切线AB 弦AC 圆心为O 过A作直径AD 连OC

角CAB等于90度减角DAC

因为OA等于OC 所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC

即可证明 角AOC等于二倍的角CAB

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4

线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.

因为AP为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠PAC=∠B，

又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，

从而∠PAC+∠DAC=∠B+∠BAD,

而∠PAC+∠DAC=∠PAD，

∠B+∠BAD=∠PDA，所以

∠PAD=∠PDA，则△PAD为等腰三角形，

因PM平分∠APD，所以PM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，

从而AD垂直EF，

则∠AGE=∠AGF=90°，

再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，

从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.

解：连结OA，OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF∥BC.

证明：连DF.

AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC