数学证明ppt

《数学证明ppt》证明书

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什么是数学证明?香港数学史家，数学教育家肖文强先生写过一本《数学证明》(江苏教育出版社，1990)，十分精彩，这里我们介绍书中的几个事例和观点。

一般人认为：数学等于证明，数学就是从一些公理出发，按照逻辑手段严谨地推导出要证明的结论。以勾股定理为例，欧几里得几何原本有一个严格的证明(不过希尔伯特(Hilbert)指出，欧氏《几何原本》的公理系统并不严格)，但巴比仑人在公元前19世纪就已知道了勾股数(13500，12709，18541)，中国古代算学利用面积拼凑法，画了几个图让大家看，就算是证明了。因此，勾股定理的知识，并不始于欧几里得的证明，也不终于欧几里得的证明。先有内容，而且人们相信它，后来才有证明。因此，数学的原动力是想象而不是证明。

人们既然相信已找到的数学规律，获得了支持它的证据，为什么还要证明?在这一点上，数学家有自己的追求，别的科学家并不要求严格证明，印度数学家哈里什-钱德拉(Harish-Chandra)曾在大物理学家狄拉克(Dirac)那里做助手，有一次他对狄拉克说，我很苦恼，因为我已找到了问题的答案，却没法证明它。狄拉克的回答是：“我不管什么证明，我只想知道真-相!”

那么数学家的证明是否可靠呢?美国勃莱坎普(Borlekamp)著的《代数编码论》是一本极好的经典著作，已译成多国文字。在序言里他许下诺言：谁头一个指出书里的错误，勿论大小，每条酬谢一美元。结果是被人指出250条，作者说每年大约要为此支出三、四块钱!但这样并未影响大家对该书的评价。有一则小道消息说：“几乎半数已刊出的数学论文都有错，但结论大部都对。”

让我们再来看数学家是怎样做证明的。英国数学家哈代(Hardy)在1929年写的一篇论文《数学证明》中说道：“严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结蒂，我们只能指指点点。”这句话的意思是，数学证明并不是完全形式化的三段论式的推理，数学家不过是指指点点，指手画脚，使读者和听众信服。讲解证明的是人，理解证明的也是人。难怪苏联数学家曼宁(Manin)说：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。”( 文章阅读网：www.sanwen.net )

当然，我们可能会问，数学家何必指指点点?老老实实从公理、定理、定义出发进行逻辑推理岂不好?但这做不到。波兰数学家史坦因豪斯(Steinhauss)的一个学生从希尔伯特的几何公理系统出发，证明勾股定理，写下来竟有80页，更令人吃惊的是，如果罗素和怀特黑(A.N.Whitehead)在1910-1913年出版的《数学原理》，从最初的集合概念开始，证明1+1=2足足用了300页，这样的证明，谁愿意读?

有些机械的验证可否让计算机去做?当然可以，但是计算机还得由人加以操作。我国吴文俊教授给出的机器证明在世界上处于领先的地位，但基本上只能证明初等几何的所有定理，离证明全部数学还远得很。况且，1976年，四色定理用计算机证明是对的，但是数学界有争论，计算机证明是不是还算数学证明，计算机错了怎么办?谁去核实?这种证明的价值何在?

说到这里，似乎都是有关数学证明的“坏话”，那么数学证明的价值何在?首先，数学证明有助于核实真理。数学家的指指点点，是比较严格的，比较符合逻辑的。因而比较可信。其次，数学证明最重要的价值是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解该定理的内容。

对中学数学教育来说，有几点流行的看法需要纠正。第一，中学数学是绝对严格的。第二，中学数学建筑在严格的逻辑推导之上。第三，数学思维能力的核心是逻辑思维能力，真实的情况是，中学数学内容不可能做到绝对严格。中学数学的证明也是“指指点点”，并非三段论式的逻辑演绎。中学数学固然能培养逻辑思维能力，但更重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学观念、数学意识和数学方法。

数学是形式化的思想材料，数学家讲究严密的形式推理，但是学生并不全做数学家，学习数学应该做到适度的非形式化。数学的严谨性是相对，绝对严格是做不到的，单纯提倡数学严谨性，只会束缚学生的数学直觉和数学想象。以为我已有了严谨性，因为你年龄小，不懂，所以才来个“严谨性与量力性相结合”的原则，未免把自己估计得太高了。

数学证明与其他学科的证实有本质不同，它具有更多的形式化特点，更接近于形式逻辑，有更强的可靠性，因而应该让中学生懂得数学证明的价值，并能适度运用。但是，如果我们贬低其他学科的论证，认为都不严格，都不可靠，惟数学独尊，那是害了学生。连物理学家都说“我只需要真-相，不需要什么证明”，何况其他?我们的学生毕竟将来绝大多数不是数学家，他们的生活天地中，数学只是很小的一个侧面，让一个人按照数学证明的方式行事，那会是何等的荒唐可笑。