用分析法证明已知

《用分析法证明已知》证明书

用分析法证明 已知要证明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3

即是证明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3

b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

因为a，b，c>0，且不全等，所以b/a+a/b≥2

a/c+c/a≥2

b/c+c/b≥2( 文章阅读网：www.sanwen.net )

上式相加的时候，等号不能取到，因为不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

命题获证

a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α

=4tanαsinα

左边=16tan²αsin²α

=16tan²α(1-cos²α)

=16tan²α-16tan²αcos²α

=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α

=16tan²α-16sin²α

右边=16(tan²α-sin²α)

所以左边=右边

命题得证

要证|(a+b)/(1+ab)|<1

就是要证|a+b|<|1+ab|

就是要证(a+b)^2<(1+ab)^2

就是要证a^2+2ab^2+b^2<1+a^2b^2+2ab

就是要证a^2b^2-a^2-b^2+1>0

就是要证(a^2-1)(b^2-1)>0

而已知|a|<1 |b|<1

所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立

|(a+b)/(1+ab)|<1成立

左边通分整理

即证|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<|a-b|

把|a-b|约分

|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<1

即证|a+b|<(a²+1)(b²+1)

显然a和b同号时|a+b|较大

所以不妨设a>0,b>0

a+b a²-a+1/4=(a-1/2)²

b²-b+1/4=(b-1/2)²

所以a²-a+b²-b+1>0

a²b²>=0

所以a>0,b>0时

a+b 若都小于0，绝对值一样

把以上倒推回去即可

证明：由a>0,b>0，ln x是增函数，要证：a^a b^b>= a^b b^a,

即证：aln a + bln b>= aln b + bln a

即证：a(ln a - ln b)+b(ln b-ln a)>=0

即证：(a-b)(ln a -ln b)>=0.

由于，ln x是增函数，因此，a-b与lna -lnb符号相同。

则(a-b)(ln a - ln b)>=0成立。

于是：原不等式成立。